Занимательные задачи
Задача 183. Фокус с угадыванием числа
Собеседник предлагает вам задумать любое двузначное число и продублировать его два раза таким образом, чтобы получилось шестизначное число. Например, 27 — 272 727 или 78 — 787 878. Далее он, не зная, разумеется, вашего шестизначного числа, предлагает вам разделить его на 37 и гарантирует, что деление пройдет без остатка. Вы производите деление, и, действительно, остатка не имеется. Далее он предлагает разделить получившийся результат на 13 и опять уверяет вас, что остатка не будет. Вы делите и вновь без остатка. Потом он точно так же просит вас разделить результат на 7 и после этого — еще на 3. Окончательное деление снова не дает остатка и, более того, вы получаете задуманное вами двузначное число, которое собеседнику было неизвестно. Каким образом он проделывает этот удивительный, на первый взгляд, фокус?
ОТВЕТ
<p>Любое двузначное число, умноженное на 10 101, дает само себя, продублированное два раза в виде шестизначного числа:</p><p>17 х 10101 = 171 717<br>23 х 10101 = 232 323<br>39 х 10101 = 393 939</p><p>Это происходит по следующей причине:</p><p>830 000 + 8 300<br>83 х 10101 =83 х (10 000 + 100 + 1) = 83<br>838 383</p><p>Таким образом, любое шестизначное число вида ababab делится без остатка на 10 101 и в результате дает число вида ab. Но 10 101 можно представить как произведение: 3 х 7 х 13 х 37, значит, любое число вида ababab будет без остатка делиться последовательно и на 3, и на 7, и на 13, и на 37 (последовательность, разумеется, может быть любой) и в результате даст число вида ab (см. также <a href="98.php">задачу 98</a>). </p><p>Фокус можно разнообразить, если учесть, что число 10101 можно представить и в виде произведения других множителей:</p><p>21 х 13 х 37 </p><p>7 х 39 х 37</p><p> 3 х 91 х 37</p><p>7 x 13 x 111 (См. также <a href="99.php">задачу 99</a>.)</p>
